Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA₁∥平面BCHG.

Answer 1

（1）利用线线平行即可证明四点共面，（2）利用线面平行证明面面平行

试题分析：(1)∵GH是△A₁B₁C₁的中位线，∴GH∥B₁C₁.又∵B₁C₁∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A₁G∥EB且A₁G=EB，∴四边形A₁EBG是平行四边形．∴A₁E∥GB.∵A₁E?平面BCHG，GB?平面BCHG.∴A₁E∥平面BCHG.∵A₁E∩EF＝E，∴平面EF A₁∥平面BCHG.
点评：线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质，常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的．