【题目】如图,在三棱柱中,各个侧面均是边长为的正方形,为线段的中点
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)求证:直线∥平面;
(Ⅲ)设为线段上任意一点,在内的平面区域(包括边界)是否存在点,使,并说明理由
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC,得到CC1⊥BD,只要再证明BD垂直于AC即可;
(2)连接B1C交BC1于O,连接OD,D为AC 中点,得到AB1∥OD,利用线面平行的判定定理可得;
(3)在△BC1D内的平面区域(包括边界)存在点E,使CE⊥DM,此时E在线段C1D上;只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明.
()证明:∵三棱柱中,各个侧面均是边长为的正方形,
∴,,
∴平面,
又∵平面,
∴,
又底面为等边三角形,为线段的中点,
∴,
又,
∴平面.
()证明:连接交于,连接,则为的中点,
∵是的中点,
∴,
又平面,平面,
∴直线平面.
()在内的平面区域(包括边界)存在点,使,此时在线段上,
证明如下:过作交线段与,
由()可知,平面,而平面,
∴,
由,,得平面,
∵平面,
∴.
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【题目】设函数 的定义域是R,对于任意实数 ,恒有,且当 时, 。
(1)求证: ,且当 时,有 ;
(2)判断 在R上的单调性;
(3)设集合A=,B=,若A∩B=,求的取值范围。
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【题目】已知函数f(x)=9x﹣2a3x+3:
(1)若a=1,x∈[0,1]时,求f(x)的值域;
(2)当x∈[﹣1,1]时,求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在实数m、n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m,n]时,其值域为[m2,n2],若存在,求出m、n的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为人,每位员工的培训费为元,培训机构的利润为元.
(1)写出与 之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润.
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【题目】已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在是增函数,其图像如图所示.
(1)已知,,利用上述性质,求函数的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数和函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数的值.
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【题目】已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+6.
(Ⅰ)解关于a的不等式f(1)>0;
(Ⅱ)若不等式f(x)>b的解集为(﹣1,3),求实数a,b的值.
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【题目】甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为。
(1)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;
(2)求乙至多击目标2次的概率;
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率。
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