Question

11．已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数），g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当a=-1时，求函数y=g（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；
（3）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得单调区间，可得最大值及相应的x的值；
（2）设出切点的坐标，求得切线的斜率，解方程可得切点的坐标，进而得到切线的方程；
（3）∈[1，e]，方程f（x）=0根的个数等价于x∈（1，e]时，方程$-a=\frac{x^2}{lnx}$根的个数，设g（x）=$\frac{x^2}{lnx}$，求得导数，求得单调区间，画出图象，平移直线y=-a，即可得到所求根的情况

解答 解：（1）函数f（x）=alnx+x²的导数为
$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4}}{x}（x＞0）$，
当$x∈[1，\sqrt{2}）$时，f'（x）＜0．当$x∈（{\sqrt{2}，e}]$时，f'（x）＞0，
又f（e）-f（1）=-4+e²-1＞0，
故$f{（x）_{max}}=f（e）={e^2}-4$，当x=e时，取等号；
（2）a=-1时，g（x）=x³-x²-x+2，设切点坐标是M（x₀，y₀），（x₀≠1），
则有$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}-1}$=3x₀²-2x₀-1，将y₀=x₀³-x₀²-x₀+2，代入上式整理得
2x₀³-4x₀²+2x₀=0，即2x₀（x₀-1）²=0，
得x₀=1或x₀=0．
则函数的图象过点P（1，1）的切线方程为x+y-2=0或y=1．
（3）易知x≠1，故x∈[1，e]，方程f（x）=0根的个数等价于
x∈（1，e]时，方程$-a=\frac{x^2}{lnx}$根的个数．                                  
设g（x）=$\frac{x^2}{lnx}$，$g'（x）=\frac{{2xlnx-{x^2}\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}=\frac{x（2lnx-1）}{{{{ln}^2}x}}$，
当$x∈（{1，\sqrt{e}}）$时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，
当$x∈（\sqrt{e}，\left.e]$时，g'（x）＞0，函数g（x）递增．
又g（e）=e²，$g（\sqrt{e}）=2e$，
作出y=g（x）的图象，由图象知：
当2e＜-a≤e²时，即-e²≤a＜-2e时，方程f（x）=0有2个相异的根；
当a＜-e²或a=-2e时，方程f（x）=0有1个根；
当a＞-2e时，方程f（x）=0有0个根．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．