Question

已知数列{a_n}满足a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋p·3ⁿ(n∈N^*，p为常数)，a₁，a₂＋6，a₃成等差数列．
(1)求p的值及数列{a_n}的通项公式；
(2)设数列{b_n}满足b_n＝，证明：b_n≤.

Answer 1

（1）a_n＝3ⁿ（2）

由a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋p·3ⁿ，得a₂＝3＋3p，a₃＝a₂＋9p＝3＋12p.
∵a₁，a₂＋6，a₃成等差数列，∴a₁＋a₃＝2(a₂＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2.
依题意知，a_n＋1＝a_n＋2×3ⁿ，
当n≥2时，a₂－a₁＝2×3¹，a₃－a₂＝2×3²，…，a_n－a_n－1＝2×3^n－1.
等号两边分别相加得a_n－a₁＝2(3¹＋3²＋…＋3^n－1)＝2×＝3ⁿ－3，
∴a_n－a₁＝3ⁿ－3，∴a_n＝3ⁿ(n≥2)．
又a₁＝3适合上式，故a_n＝3ⁿ.
(2)证明:∵a_n＝3ⁿ，∴b_n＝.
∵b_n＋1－b_n＝－＝ (n∈N^*)．
若－2n²＋2n＋1<0，则n>，
即当n≥2时，有b_n＋1<b_n.
又因为b₁＝，b₂<.故b_n≤