Question

10．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差x	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

（Ⅰ）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
参考数据：
$\sum_{i=1}^{8}$x_iy_i=20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（-5）×（-0.5）+（-10）×（-2.5）+（-18）×（-3.5）=324
$\sum_{i=1}^{8}$x${\;}_{i}^{2}$=20²+15²+13²+3²+2²+（-5）²+（-10）²+（-18）²=1256．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．
（Ⅱ）求出物理偏差、数学偏差，利用线性回归方程，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\overline{x}$=$\frac{1}{8}$（20+15+13+3+2-5-10-18）=2.5，…（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{8}$（6.5+3.5+3.5+1.5+0.5-0.5-2.5-3.5）=1.125，…（2分）
所以b=$\frac{324-8×2.8×1，125}{1256-8×2．{5}^{2}}$=0.25，…（5分）
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=0.5，…（8分）
故y关于x的线性回归方程：y=0.25x+0.5．           　 　          　      …（9分）
（Ⅱ）由题意，设该同学的物理成绩为w，则物理偏差为：w-91.5．               …（10分）
而数学偏差为128-120=8，…（11分）
∴w-91.5=0.25×8+0.5，…（12分）
解得w=94，…（13分）
所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．

点评 本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．