Question

在△ABC中，边AB为最大边，且sinA•sinB=

2- 3

4

，则cosA•cosB的最大值是

2+ 3

4

．

Answer 1

分析：利用积化和差公式可求得cos（A-B）-cos（A+B）=

3 -2

2

，再由题意可求-

1

2

＜cos（A-B）≤1，由cosAcosB=

1

2

[cos（A-B）-cos（A+B）]+cos（A-B）即可求得cosA•cosB的最大值．

解答：解：∵sinAsinB=-

1

2

[cos（A-B）-cos（A+B）]=

2- 3

4

，
∴cos（A-B）-cos（A+B）=

3 -2

2

∵在三角形ABC中，AB最长，故角C最大，
∴C＞

π

3

，0＜A+B＜

2π

3

，-

2π

3

＜A-B＜

2π

3

，
∴-

1

2

＜cos（A-B）≤1，
∴cosAcosB=

1

2

[cos（A+B）+cos（A-B）]
=

1

2

[cos（A-B）-cos（A+B）]+cos（A-B）
=

3 -2

4

+cos（A-B）≤

3 -2

2

+1=

3 +2

4

（当且仅当A=B时取等号）．
故答案为：

3 +2

4

．

点评：本题考查解三角形，考查积化和差公式与三角函数单调性与最值的综合应用，考查等价转化思想与综合应用的能力，求得-

1

2

＜cos（A-B）≤1是关键，属于难题．