Question

已知关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜a
（Ⅰ）当a=2时，解不等式；
（Ⅱ）如果不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，|x-2|+|x-3|＜2，通过对x的范围分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式来解即可；
（Ⅱ）利用分段函数y=|x-2|+|x-3|=

2x-5(x≥3) 1(2≤x≤3) 5-2x(x＜2)

，可求得y_min，只需a≤y_min即可求得实数a的取值范围．

解答：解（Ⅰ）原不等式|x-2|+|x-3|＜2，
当x＜2时，原不等式化为5-2x＜2，解得x＞

3

2

，
∴

3

2

＜x＜2；
当2≤x≤3时，原不等式化为1＜2，
∴2≤x≤3；
当x＞3时，原不等式化为2x-5＜2，解得x＜

7

2

，
∴3＜x＜

7

2

；
综上，原不等式解集为{x|

3

2

＜x＜

7

2

}；_{-----------------}（5分）
（Ⅱ）y=|x-2|+|x-3|=

2x-5(x≥3) 1(2≤x≤3) 5-2x(x＜2)

，
当x≥3时，y≥1；
当2≤x≤3时，y=1；
当x＜2时，y＞1，
综上，y≥1，原问题等价于a≤[|x-2|+|x-3|]_min
∴a≤1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论，去掉绝对值符号是解决问题的关键，属于中档题．