Question

（本题满分14分）
已知函数,,和直线： .
又. 
(1)求的值；
(2)是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.
(3)如果对于所有的,都有成立，求k的取值范围.

Answer 1

（1）=－2.
（2）
(3)

解：（1）,因为所以=－2.   …………2分
(2)因为直线恒过点（0，9）.先求直线是 的切线.
设切点为, …………3分
∵.∴切线方程为,
将点（0，9）代入得.
当时，切线方程为="9," 当时，切线方程为=.
由得，即有
当时，的切线，
当时， 的切线方程为…………6分
是公切线，又由得或，
当时的切线为，当时的切线为，
，不是公切线， 综上所述 时是两曲线的公切线  ……7分
(3).（1）得，当，不等式恒成立，.
当时，不等式为，……8分
而
当时，不等式为， 
当时,恒成立，则         …………10分
（2）由得
当时，恒成立，，当时有 
设=，
当时为增函数，也为增函数

要使在上恒成立，则        …………12分
由上述过程只要考虑，则当时=
在时，在时
在时有极大值即在上的最大值，…………13分
又，即而当,时，
一定成立，综上所述.   …………14分