Question

已知函数①y=sinx+cosx，②y=2

2

sinxcosx，则下列结论正确的是（　　）

• A、两个函数的图象均关于点（-

  π

  4

  ，0）成中心对称
• B、两个函数的图象均关于直线x=-

  π

  4

  对称
• C、两个函数在区间（-

  π

  4

  ，

  π

  4

  ）上都是单调递增函数
• D、可以将函数②的图象向左平移

  π

  4

  个单位得到函数①的图象

Answer 1

分析：化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得 A、B、D不正确，C 正确．

解答：解：∵函数①y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），②y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x，
由于①的图象关于点（-

π

4

，0）成中心对称，②的图象不关于点（-

π

4

，0）成中心对称，故A不正确．
由于函数①的图象不可能关于直线x=-

π

4

成轴对称，故B不正确．
由于这两个函数在区间（-

π

4

，

π

4

）上都是单调递增函数，故C正确．
由于将函数②的图象向左平移

π

4

个单位得到函数y=

2

sin2（x+

π

4

），而y=

2

sin2（x+

π

4

）≠

2

sin（x+

π

4

），故D不正确．
故选C．

点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，考查和、差角公式及二倍角公式，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口，属于中档题．