Question

（本小题满分14分）设函数f(x)＝x²＋e^x－xe^x.(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

(1)f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)m＜2－e²时，不等式f(x)＞m恒成立．

试题分析：(I)直接求导，根据导数大（于）零，解不等式可得函数的单调增（减）区间.
(1)函数f(x)的定义域为(－ ∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋e^x－(e^x＋xe^x)＝x(1－e^x)，
若x＜0，则1－e^x＞0，所以f′(x)＜0；
若x＞0，则1－e^x＜0，所以f′(x)＜0；
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．
∴[f(x)]_min＝f(2)＝2－e²，
∴m＜2－e²时，不等式f(x)＞m恒成立．
点评：导数主要用在研究函数的单调性，极值，最值等方面.要注意极值的判断方法.