【题目】有一块铁皮零件,其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形,其中,如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮,使得矩形相邻两边分别落在上,另一顶点落在边或边上.设,矩形的面积为.
(1)试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式,并写出定义域;
(2)试问如何截取(即取何值时),可使得到的矩形的面积最大?
【答案】(1),定义域(2)先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大.
【解析】
(1)分类讨论,当点分别落在线段或线段上.根据矩形面积即可求得关于的函数解析式及其定义域.
(2)根据(1)由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时的值,即可知截取矩形的方式.
(1)依据题意并结合图形,可知:
①当点落在线段上
即时,;
②当点在线段上,
即时,由,
得.
于是.
所以,
定义域.
(2)由(1)知,当时,;
当时,
当且仅当时,等号成立.
因此,y的最大值为.
答:先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为.
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【题目】已知为椭圆的左右焦点,点在椭圆上,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线分别交椭圆于和,且,问是否存在常数,使得等差数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】袋中共有8个球,其中有3个白球,5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程次后,袋中白球的个数记为.
(1)求随机变量的概率分布及数学期望;
(2)求随机变量的数学期望关于的表达式.
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【题目】某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满400元的顾客,均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励.
(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率;
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】已知二次函数f(x)=x2+bx+c,若对任意的x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤6,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】超市为了防止转基因产品影响民众的身体健康,要求产品在进入超市前必须进行两轮转基因检测,只有两轮都合格才能销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.
(1)求该产品不能销售的概率;
(2)如果产品可以销售,则每件产品可获利50元;如果产品不能销售,则每件产品亏损60元.已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利元,求的分布列,并求出均值.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]:在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)判断曲线,是否相交,若相交,请求出交点间的距离;若不相交,请说明理由.
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【题目】分形几何学是数学家伯努瓦.曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图.若记图(2)中第行黑圈的个数为,则________.
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