Question

如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．
设 F（-c，0），则 ．
将 代入a²=b²+c²，得a=2c．
所以椭圆的离心率为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x²+4y²=12c²，
整理得 （4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0．
则 ，，所以．
因为 GD⊥AB，所以 ，．
因为△GFD∽△OED，
所以 =．
所以的取值范围是（9，+∞）．
分析：（Ⅰ）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°，设 F（-c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a²=b²+c²联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆方程可化为，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GD⊥AB得k_GD•k=-1，则D点横坐标也可表示出来，易知△GFD∽△OED，故=，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高．