Question

【题目】已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，PM，切点为Q，M，且满足|PQ|=|PA|．

（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径最小时圆P的方程；
（3）当P点的位置发生变化时，直线QM是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．

∵|PQ|=|PA|故PA2=PO2﹣1

∴a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2

化简可得，2a+b﹣3=0

（2）解：设圆P的半径为R，

∵圆P与圆O有公共点，且半径最小，

∴R=|OP|= = = ，

故当a= 时，|OP|min=

此时，b= ，Rmin= ﹣1．

得半径取最小值时圆P的方程为 ；

（3）解：设Q（x1，y1），M（x2，y2），则

化简得ax1+by1=1，

同理ax2+by2=1．

所以，直线MQ的方程为ax+by=1．

∵b=3﹣2a，代入上式得（x﹣2y）a+3y﹣1=0，

令x﹣2y=0，3y﹣1=0，得x= ，y= ，

∴直线MQ过定点（ ）．

【解析】（1）由已知Q为切点，可知PQ⊥OQ，结合勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2及已知|PQ|=|PA|，利用两点间的距离公式可得a，b之间的关系（2）设圆P的半径为R，由圆P与圆O有公共点，且半径最小，可知R=OP，利用两点间的距离，结合（1）中a，b的关系可转化为关于a的二次形式，结合二次函数的性质可求R的最小值，进而可求圆的方程；（3）求出直线MQ的方程，结合b=3﹣2a，即可得出结论．