Question

9．如图在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=$\sqrt{2}$，M为AB的中点．
（I）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证AC⊥SB，取AC中点D，连接DS、DB，根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（Ⅱ）设点B到平面SCM的距离为h，利用等体积法：V_B-SCM=V_S-CMB，即可求得点B到平面SCM的距离．

解答 （Ⅰ）证明：如图，取AC的中点D，连接DS，DB．
∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，
∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．   
（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAS⊥平面ABC，
∴SD⊥平面ABC．
如图，过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，
∴在Rt△SDE中，SD=1，DE=$\frac{1}{2}$，
∴SE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．CM是边长为2的正△ABC的中线，∴CM=$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△SCM}=\frac{1}{2}CM•SE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
${S}_{△BMC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB•CM=\frac{1}{4}×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设点B到平面SCM的距离为h，
则由V_B-SCM=V_S-BCM得$\frac{1}{3}{S}_{△SCM}•h=\frac{1}{3}{S}_{△BMC}•SD$，
∴$h=\frac{{S}_{△BMC}•SD}{{S}_{△SCM}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查直线与直线，直线与平面，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题．