Question

分别求下列函数的值域：
（1）y=

2x+1

x-3

；
（2）y=-x²+2x（x∈[0，3]）；
（3）y=x+

1-x2

；
（4）y=

1-2x

1+2x

．

Answer 1

分析：（1）用分离变量法将原函数变形，再根据分母不为零，求函数的值域；
（2）用配方法将原函数变形，再根据开口方向和对称轴的大小，求出在区间上的最值，在表示出值域；
（3）先求函数定义域[-1，1]，故设x=cosθ（θ∈[0，π]），代入原函数利用两角的和差公式进行化简，再利用正弦函数的曲线求出最值，即求出值域；
（4）用分离变量法将原函数变形，利用2^x＞0求原函数的值域．

解答：解：（1）用分离变量法将原函数变形为：y=

2x-6+7

x-3

=2+

7

x-3

．
∵x≠3，∴

7

x-3

≠0．
∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R且y≠2}．
（2）用配方法将原函数变形为：y=-（x-1）²+1，根据二次函数的性质，
在区间[0，3]上，当x=1时，函数取最大值1，当x=3时，函数取最小值是-3，
则原函数的值域是[-3，1]．
（3）由1-x²≥0，得-1≤x≤1，设x=cosθ（θ∈[0，π]），
则y=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），
由正弦函数曲线易知，当θ=

π

4

时，y取最大值为

2

，当θ=π时，y取最小值为-1，
∴原函数的值域是[-1，

2

]．
（4）分离常数法将原函数变形为：
y=

1-2x

1+2x

=

-2x-1+2

1+2x

=-1+

2

1+2x

∵1+2^x＞1，∴0＜

2

1+2x

＜2，
∴-1＜-1+

2

1+2x

＜1，
∴所求值域为（-1，1）

点评：本题考查了求函数值域的方法，即分离常数法，配方法和换元法等，注意每种方法适用的类型．