Question

[理]如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB内一点，
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．
[文]若数列{a_n}的通项公式，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推测f（n）的表达式；
（3）证明（2）中你的结论．

Answer 1

[理]解：（1）设正方体的棱长为a，
则，，
∵，
∴，又DE∩DB=D，
∴HC₁⊥平面EDB．
（2），
设与所成的角为θ，

∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB，
∴∠C₁BH为BC₁与平面EDB所成的角．
∠C₁BH=90°-45°=45°．
（3）
[文]解：（1）a₁=，a₂=，a₃=，a₄=，f（2）=（1-a₁）（1-a₂）=，
f（3）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）=，f（4）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）（1-a₄）=，
（2）故猜想f（n）=
（3）证明：


…


将上述n个因式相乘得：
即f（n）=
分析：[理]（1）由向量的数量积可得，可得HC₁⊥DE，HC₁⊥DB，即由线线垂直得到线面垂直．
（2）由题意得面EDB的垂线是BC₁，即平面的法向量，进而求与所成的角θ即可．
（3）由于三棱锥A-EDB的体积不易求出，把三棱锥换一个顶点求三棱锥E-ABD的体积，高是AA₁，底面为S_△ABD
[文]（1）将1，2，3分别代入数列{a_n}的通项公式计算f（1），f（2），f（3）的值即可．
（2）f（2）=，f（3）=，f（4）=，可以发现n与函数f（n）的关系f（n）的表示式．
（3）防写出所求的式子的类似的式子，把所写出的式子相乘，化简整理得到所写出的结果，结论正确．
点评：本题是两个题目，一个适合文科做，一个适合理科做，第一个题目解题的关键是建立坐标系，在坐标系里解决立体几何题目，第二个题目是猜测证明的一个过程，注意根据所给的几项的值写出数列的通项，并且加以证明．