Question

9．已知函数f（x）=x²-2ax+2，x∈[0，3]．
（1）当a=1，求f（x）在定义域[0，3]上的最值；
（2）当a∈R时，求f（x）在定义域[0，3]上的最小值；
（3）若a∈R，求f（x）在定义域[0，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值；
（2），（3）先求f（x）的对称轴为x=a，讨论a和区间[0，3]的关系，对于每种情况根据二次函数f（x）在[0，3]上的单调性，或取到顶点值，或比较端点值，这样即可得出每种情况下的函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）a=1时：f（x）=（x-1）²+1，
对称轴x=1，函数f（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增，
∴f（x）_最小值=f（1）=1，f（x）_最大值=f（3）=5；
（2）f（x）的对称轴为x=a；
①若a≤0，则f（x）在[0，3]上单调递增；
∴f（x）的最小值为f（0）=2；
②若0＜a＜3，则f（a）=-a²+3是f（x）的最小值；
③若a≥3，则f（x）在[0，3]上单调递减，
∴f（x）的最小值为f（3）=12-6a；
（3）f（x）的对称轴为x=a；
①若a≤0，则f（x）在[0，3]上单调递增；
∴f（x）的最大值为f（3）=12-6a；
②0＜a≤$\frac{3}{2}$时，f（3）=12-6a为f（x）的最大值；
③$\frac{3}{2}$＜x＜3时，f（0）=2f（x）的最大值；
④若a≥3，则f（x）在[0，3]上单调递减；
∴f（x）的最大值为f（0）=2．

点评 考查二次函数的对称轴的求解公式，二次函数的单调性，以及根据单调性求函数的最大值、最小值，根据取得顶点的情况或比较端点值来求二次函数最值的方法，要熟悉二次函数的图象．