Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|．

(1)求p的值；

(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）p＝4 （2）证明见解析，定点坐标：(－1，－1)

【解析】

（1）设Q(x0,4)，由抛物线定义，根据|QF|＝x0＋，解得x0＝，将点Q代入抛物线方程，即可求解；

（2）设直线MN的方程为x＝my＋n，代入抛物线的方程，代入y1＋y2，y1y2，结合斜率公式，求得n＝m－1，代入直线方程，即可求解．

（1）设Q(x0,4)，由抛物线定义，|QF|＝x0＋，

又|QF|＝2|PQ|，即2x0＝x0＋，解得x0＝，

将点Q代入抛物线方程，解得p＝4．

（2）由(1)知C的方程为y2＝8x，所以点T坐标为，

设直线MN的方程为x＝my＋n，点M，N，

由得y2－8my－8n＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，

所以kMT＋kNT＝＋＝＋

＝＝＝－，

解得n＝m－1，所以直线MN方程为x＋1＝m(y＋1)，

此时直线恒过点(－1，－1)．