Question

如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=

2

．
（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据边长之间的关系得到PD⊥CD；再结合PD⊥BC即可证明结论；
（Ⅱ）连接BD，设BD交AC于点O，过O作OE⊥PB于点E，连接AE，证得∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角，最后通过求边长即可求出结果．

解答：解；（Ⅰ）证明：∵PD=DC=1，PC=

2

，
∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD，…（2分）
又∵PD⊥BC，BC∩CD=C，
∴PD⊥面ABCD…（7分）
（Ⅱ）解：连接BD，设BD交AC于点O，
过O作OE⊥PB于点E，连接AE，
∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD，
又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB．
∴AO⊥PB，
又∵OE⊥PB，OE∩AO=O，
∴PB⊥平面AEO，从而PB⊥EO，
故∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角．…（10分）
∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD，
∴在Rt△PDB中，PB=

PD2+BD2

=

1+2

=

3

，
又∵

OE

PD

=

OB

PB

，∴OE=

6

6

，…（12分）
tan∠AEO=

AO

OE

=

2 2

6 6

=

3

，∴∠AEO=60°．
故二面角A-PB-D的大小为60°．…（15分）

点评：本题主要考察二面角的平面角及其求法以及线面垂直的证明．一般在证明线面垂直时，常先证明线线垂直，进而得线面垂直．