Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个不共线的向量．
（1）求证：|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|；
（2）应用（1）的结论求函数y=$\frac{1+sinx}{2-cosx}$的最大值．（注：第2小题未用向量法不给分，要用到向量数量积相关概念）

Answer 1

分析 （1）运用数量积得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，利用三角函数有界性求解证明||cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞|＜1，即可得证|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|；
（2）化简得出2y-1=ycosx+sinx，转化为数量积$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（y，1），根据：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=ycisx+sinx，|$\overrightarrow{a}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，利用|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|可以多次需要的不等式．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，
∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$||cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞|，
∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个不共线的向量．
∴||cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞|＜1，
∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|；
（2）∵y=$\frac{1+sinx}{2-cosx}$，
∴2y-1=ycosx+sinx，
令$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（y，1），
根据：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=ycisx+sinx，|$\overrightarrow{a}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，即|2y-1|≤1×$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
化简得出：3y²-4y≤0，即0≤y$≤\frac{4}{3}$，
∴最大值为：$\frac{4}{3}$

点评 本题考察了平面向量的数量积的运用，不等式的运用，函数的性质值域等知识的综合，属于中档题．