Question

如图，四棱锥的底面是矩形，
底面，P为BC边的中点，SB与
平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．
（1）求证：平面SAP；
（2）求二面角A－SD－P的大小.          

Answer 1

（1）见解析
（2）二面角A－SD－P的大小为

（1）因为底面，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，……………………….2分
又因为AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以．………….…….3分
因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD,               …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A    所以平面SAP．…………………………….5分
（2）设Q为AD的中点,连结PQ,       ………………….………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD….7分
因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,
由三垂线定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分
容易证明△DRQ∽△DAS,则
因为DQ= 1，SA=1，，所以….……….10分
在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，所以………11分
所以二面角A－SD－P的大小为．……………….…….…….12分
或：过A在平面SAP内作,且垂足为H,在平面SAD内作,且垂足为E,连接HE，平面SAP。平面SPD…………7分
∴HE为AE在平面SPD内的射影，∴由三垂线定理得
从而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分
在中,，在中,，
.        ………………………………….11分
即二面角的大小为……………………………12分
解法二：因为底面，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1
建立空间直角坐标系(如图)
由已知，P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
（1）易求得,
，..………….…....3分
因为，=0。
所以，
由于AP∩SP=P，所以平面SAP         ………….……………..….…5分
（2）设平面SPD的法向量为
由,得　　解得，
所以                     ……………….…………….……….8分
又因为AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得…9分
所以    ….………………….11分
所求二面角的大小为. ……………….……….…… 12分