Question

【题目】已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.

（1）已知函数，判断 函数是否属于集合；

（2）若函数属于集合，试求实数的取值范围；

（3） 证明函数属于集合.

Answer 1

【答案】(1) 函数不属于集合;(2) ;(3)证明见解析

【解析】

(1)根据题意,分析在定义域内存在实数,使得成立即可.

(2)根据题意可知存在实数,使得.再换元利用零点存在定理列式求解即可.

(3)根据题意化简可得即证在定义域内有解,再用零点存在定理证明即可.

(1)由题,若属于集合则存在使得成立.

即无实数解.故函数不属于集合.

(2)因为属于集合,故存在满足.

即,令,则存在大于0的实数根.

即存在大于0的实数根.故 ,

解得.

(3)由题即证在定义域内存在实数,

使得成立.

即.设,

则,又.

根据零点存在定理可知,存在使得.

即数属于集合