Question

20．m∈R，函数f（x）=mx-lnx+1．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）将函数f（x）的图象向下平移1个单位后得到g（x）的图象，且x₁=$\sqrt{e}$（e为自然对数的底数）和x₂是函数g（x）的两个不同的零点，求m的值并证明：x₂＞e$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的定义域，求导数，通过f′（x）=0，得x=1，利用导函数的符号，推出函数的单调区间．
（2）利用g（x）=mx-lnx，且x₁=$\sqrt{e}$是函数g（x）的零点，推出m值，利用函数的零点判定定理，结合函数g（x）在（2$\sqrt{e}$，+∞）上单调递增，求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．求导数，得f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．…．（2分）
令f′（x）=0，得x=1
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．…．（4分）
所以当x=1时，f（x）有极小值，极小值为f（1）=2-ln1=2．
所以，f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1），极小值为2．…．（6分）
（2）证明：因为g（x）=mx-lnx，且x₁=$\sqrt{e}$是函数g（x）的零点，
所以g（$\sqrt{e}$）=0，即m$\sqrt{e}$-$\frac{1}{2}$=0，解得m=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}=\frac{{\sqrt{e}}}{2e}$．…．（8分）
所以g（x）=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}x$-lnx．因为g（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{e}{2}$-$\frac{3}{2}$＜0，g（${e}^{\frac{5}{2}}$）=$\frac{e^2}{2}$-$\frac{5}{2}$＞0，
所以g（${e}^{\frac{3}{2}}$）g（${e}^{\frac{5}{2}}$）＜0．…．（10分）
由（1）知，函数g（x）在（2$\sqrt{e}$，+∞）上单调递增，
所以函数g （x）在区间（${e}^{\frac{3}{2}}$，${e}^{\frac{5}{2}}$）上有唯一零点，因此x₂＞${e}^{\frac{3}{2}}$，即x₂＞$e\sqrt{e}$…．（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，零点判定定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．