Question

6名同学随意站成一排，求下列各种情况发生的概率：
（1）甲站左端；
（2）甲站左端，乙站右端；
（3）甲、乙两人相邻；
（4）甲、乙两人不相邻；
（5）甲不站排头、排尾；
（6）甲站在乙的左边（可以相邻，也可以不相邻）．

Answer 1

解：（1）题目要求甲站在左端，
先排列甲，余下的五个人在五个位置全排列，
共有A₅⁵=120种结果．
（2）题目要求甲站左端，乙站右端；
甲和乙站好之后，余下的四个元素在四个位置进行全排列，
共有A₄⁴=24种结果，
（3）甲、乙两人相邻，则可以采用捆绑法，
把甲和乙看做一个元素，同其他四个元素进行排列，甲和乙内部还有一个排列，
共有A₅⁵A₂²=240种结果．
（4）甲、乙两人不相邻，则可以采用插空法，
先把其他四个人在四个位置排列，四个人形成五个空，
使甲和乙在这五个空上选两个位置排列，
共有A₄⁴A₅²=480种结果．
（5）题目要求甲不站排头、排尾，可以先排有限制条件的元素，
甲不在两端，则甲可以在中间四个位置选一个进行排列，
余下的五个人在五个位置全排列，
共有A₄¹A₅⁵=480种结果
（6）6个人在6个位置全排列，
∵甲在乙的左边和右边的概率是一样的，
∴甲站在乙的左边有=360种结果．
分析：（1）题目要求甲站在左端，先排列甲，余下的五个人在五个位置全排列，用排列数写出结果．
（2）题目要求甲站左端，乙站右端，甲和乙站好之后，余下的四个元素在四个位置进行全排列．
（3）甲、乙两人相邻，则可以采用捆绑法，把甲和乙看做一个元素，同其他四个元素进行排列，甲和乙内部还有一个排列．
（4）甲、乙两人不相邻，则可以采用插空法，先把其他四个人在四个位置排列，四个人形成五个空，使甲和乙在这五个空上选两个位置排列．
（5）题目要求甲不站排头、排尾，可以先排有限制条件的元素，甲不在两端，则甲可以在中间四个位置选一个进行排列，余下的五个人在五个位置全排列．
（6）6个人在6个位置全排列，甲在乙的左边和右边的概率是一样的，把六个人全排列得到的结果数处于2即可．
点评：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果．