Question

17．已知f（x）=lnx-mx，m∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若m=0，求证：对于任意的0＜x₁＜x₂，恒有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过m的范围，求解函数的单调性．
（2）利用不等式转化函数的单调性，构造函数通过导数，求解证明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$
当m≤0时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∈）是增函数．
当m＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）是增函数，（$\frac{1}{m}$，+∞）是减函数．
（2）对任意的$0＜{x_1}＜{x_2}，\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$，
可变形为$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}?ln{x_2}-ln{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}=\frac{x_2}{x_1}-1$$?ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{x_2}{x_1}-1?lnt＜r-1（t=\frac{x_2}{x_1}＞1）$，
令φ（t）=lnt-t+1，$φ'（t）=\frac{1}{t}-1＜0$，
∴φ（t）在（1，+∞）单调递减，
∴φ（t）＜φ（1）=0．

点评 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．考查计算能力．