Question

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

试求：
（1）对x与y进行线性相关性检验；
（2）如果y对x呈线性相关关系，求线性回归方程；（其中

a

和

b

均保留两位小数）
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？（保留两位小数）
（参考公式与数据：r=

n i=1 xiyi-n . x . y

( n i=1 x 2 i -n . x 2)( n i=1 y 2 i -n . y 2)

，

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

=

b

.

x

，

5

i=1

 

x

2 i

=90，

5

i=1

y

2 i

=140.8，

.

x

=4，

.

y

=5，

5

i=1

xiyi=1123，

79

≈8.9，

2

≈1.4，n-2=3时，r_0.05=0.878）

Answer 1

分析：（1）对x与y进行线性相关性检验可做统计假设：x与y不具有线性相关关系求出r的值，再判断线性相关关系；
（2）做出利用最小二乘法所用的几个数据，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（3）给出自变量的值，把它代入线性回归方程，求出y的值，这里得到的不是y的准确数值，而是一个估计值，一个预报值

解答：解：（1）做统计假设：x与y不具有线性相关关系

5

i=1

xiyi-5

.

x

.

y

=112.3-5×4×5=12.3   

5

i=1

xi 2-5

.

x

2=90-5×42=10

5

i=1

yi 2-5

.

y

2=140.8-125=15.8     r=

12.3

10×15.8

≈0.987
|r|=0.987＞0.878，所以有95%的把握认为“x与y具有线性相关关系”．
（2）∵

5

i=1

xi2=4+9+16+25+36=90 
且

.

x

=4，

.

y

=5，n=5，
∴

?

b

=

112.3-5×4×5

90-5×16

=

12.3

10

=1.23

?

a

=5-1.23×4=0.08
∴回归直线为y=1.23x+0.08．
（3）当x=10时，y=1.23×10+0.08=12.38，
所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元．

点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法时，不要把数据运算出错，其他的知识点应该没有问题．