Question

如图，在体积为

2

3

π的圆锥PO中，已知⊙O的直径AB=2，C是

AB

的中点，D是弦AC的中点．
（1）指出二面角D-PO-A的平面角，并求出它的大小；
（2）求异面直线PD与BC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得二面角D-PO-A的平面角为∠AOD，解三角形可得；
（2）可得∠PDO为异面直线PD，BC所成的角，在Rt△PDO中，易得答案．

解答：解：（1）∵圆锥PO中PO⊥平面AOD，
∴AO⊥PO，DO⊥PO
∴二面角D-PO-A的平面角为∠AOD，
由已知易得△OD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=∠A=45°；
（2）在△ABC中OD∥BC，
故∠PDO为异面直线PD，BC所成的角，
∵AB=2，∴BC=

2

，∴DO=

2

2

，
由体积公式可得

1

3

π×1²×PO=

2

3

π，解得PO=

2

，
∴在Rt△PDO中，tan∠PDO=

PO

DO

=2．
∴所求的正切值为2．

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及二面角的求解，属中档题．