Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）
（1）令函数f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的图象为曲线c₁，曲线c₁与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线c₁的切线，切点为B（n，t）（n＞0）设曲线c₁在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
（2）当x，y∈N^*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的解析式，求出A的坐标，利用曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率，切点在曲线上，列出方程组求出B的坐标，将曲边图象的面积用定积分表示，利用微积分基本定理求出面积．
（2）构造函数h（x），求出其导函数判断导函数的符号，判断出h（x）的单调性，利用其单调性得到不等式，利用不等式的性质得证．

解答：解：（1）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））=2^log₂（x²-4x+9）=x²-4x+9
故A（0，9）
f'（x）=2x-4，过O作C₁的切线，切点为B（n，t）（n＞0），
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

解得B（3，6）
∴S=

∫

3 0

(x2-4x+9-2x)dx=(

1

3

x3-3x2+9x)

|

3 0

=9
（2）令h(x)=

ln(1+x)

x

(x≥1)h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

令P(x)=

x

1+x

-ln(1+x)(x＞0)∴P′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0
∴P（x）在[0，+∞）单调递减．
∴当x＞0时，有P（x）＜P（0），
∴当x≥1时有h'（x）＜0∴h（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴1≤x＜y时，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴当x，y∈N^*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）

点评：本题考查导数的几何意义|导数在曲线切点处的值是曲线的切线斜率、利用定积分求曲边梯形的面积、
利用导数研究函数的单调性、不等式的性质．