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定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞)
(1)令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线c1,曲线c1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O作曲线c1的切线,切点为B(n,t)(n>0)设曲线c1在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值;
(2)当x,y∈N*且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x).
分析:(1)求出f(x)的解析式,求出A的坐标,利用曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率,切点在曲线上,列出方程组求出B的坐标,将曲边图象的面积用定积分表示,利用微积分基本定理求出面积.
(2)构造函数h(x),求出其导函数判断导函数的符号,判断出h(x)的单调性,利用其单调性得到不等式,利用不等式的性质得证.
解答:解:(1)∵F(x,y)=(1+x)y
∴f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9
故A(0,9)
f'(x)=2x-4,过O作C1的切线,切点为B(n,t)(n>0),
t=n2-4n+9
t
n
=2n-4
解得B(3,6)
S=
3
0
(x2-4x+9-2x)dx=(
1
3
x3-3x2+9x)
|
3
0
=9

(2)令h(x)=
ln(1+x)
x
(x≥1)h′(x)=
x
1+x
-ln(1+x)
x2

P(x)=
x
1+x
-ln(1+x)(x>0)
P′(x)=
1
(1+x)2
-
1
1+x
=
-x
(1+x)2
<0

∴P(x)在[0,+∞)单调递减.
∴当x>0时,有P(x)<P(0),
∴当x≥1时有h'(x)<0∴h(x)在[1,+∞)上单调递减.
∴1≤x<y时,有
ln(1+x)
x
ln(1+y)
y

yln(1+x)>xln(1+y)
∴(1+x)y>(1+y)x
∴当x,y∈N*且x<y时,F(x,y)>F(y,x)
点评:本题考查导数的几何意义|导数在曲线切点处的值是曲线的切线斜率、利用定积分求曲边梯形的面积、
利用导数研究函数的单调性、不等式的性质.
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已知M是△ABC内的一点(不含边界),且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为x,y,z.
(1)x+y+z=
 

(2)定义f(x,y,z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
,则f(x,y,z)的最小值是
 

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定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(1)令函数g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围
(2)当x,y∈N*且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x).

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定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(Ⅰ)令函数f(x)=F(3,log2(2x-x2+4)),写出函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)令函数g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围
(Ⅲ)当x,y∈N*且x<y时,求证F(x,y)>F(y,x).

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(2007•汕头二模)定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(Ⅰ)令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值;
(Ⅱ)令函数g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)当x,y∈N*且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x).

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