Question

17．已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3在x∈[-1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过讨论a的值，判断函数是一次函数还是二次函数，分别根据一次函数、二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：①a=0时，函数f（x）=2x-3是增函数，
而f（1）=-1＜0，
∴函数f（x）=2ax²+2x-3在x∈[-1，1]上恒小于零；
②a≠0时，函数f（x）是二次函数，
若函数f（x）=2ax²+2x-3在x∈[-1，1]上恒小于零，
则只需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4+24a＞0}\\{{x}_{1}=\frac{-1-\sqrt{1+6a}}{2a}＜-1}\\{{x}_{2}=\frac{-1+\sqrt{1+6a}}{2a}＞1}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$
或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得：a＜-1$\frac{1}{6}$，
或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＞0}\\{{x}_{2}＞1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{6}$＜a＜0，
或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＞0}\\{{x}_{1}＜-1}\end{array}\right.$无解，
综上：a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．