Question

【题目】已知f（x）=1﹣ ．
（1）求证：f（x）是定义域内的增函数；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）=1﹣ ．

∴f′（x）= ．

在定义域R上，f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是定义域R上的增函数

（2）解：由（1）可得当x∈[0，1]时，f（x）为增函数，

故当x=0时，f（x）取最小值0，

当x=1时，f（x）取最大值 ，

即当x∈[0，1]时，求f（x）值域为[0， ]

【解析】（1）求导，根据在定义域R上，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定义域R上的增函数；（2）由（1）可得当x∈[0，1]时，f（x）为增函数，求出函数的最值，可得函数的值域．
【考点精析】掌握函数的值域和函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．