Question

18．若函数f（x）=x³-ax²-x+6在（0，1）上单调递减，则实数a取值范围是（　　）

• A． a=1
• B． a≥1
• C． a≤1
• D． 0＜a＜1

Answer 1

分析 若函数f（x）=x³-ax²-x+6在（0，1）上单调递减，则f′（x）=3x²-2ax-1≤0，在（0，1）上恒成立，即a≥$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$在（0，1）上恒成立，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=x³-ax²-x+6，
∴f′（x）=3x²-2ax-1，
∵函数f（x）=x³-ax²-x+6在（0，1）上单调递减，
∴f′（x）=3x²-2ax-1≤0，在（0，1）上恒成立，
即a≥$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$在（0，1）上恒成立，
令g（x）=$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$，则g′（x）=$\frac{3{x}^{2}+1}{2{x}^{2}}$＞0在（0，1）上恒成立，
故g（x）=$\frac{3{x}^{2}-1}{2x}$在（0，1）上为增函数，
由g（1）=1得：a≥1，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，难度中档．