Question

7．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）若a=1，p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若p∧q为真，则p真且q真，将a=1代入，分别解两个不等式（组），再求其交集可得实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢q是￢p的必要不充分条件，即q⇒p为真且p⇒q为假，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．
若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．
（Ⅱ）￢q是￢p的必要不充分条件，即q⇒p为真且p⇒q为假，
设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B?A，
又B=（2，3]，
当a＞0时，A=（a，3a）；
a＜0时，A=（3a，a）．
所以当a＞0时，有$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\end{array}\right.$解得1＜a≤2；
当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是1＜a≤2．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，难度中档．