Question

已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，若扇形的周长为40cm，当它的圆心角α为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

分析：设出弧长，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，转化为关于半径的二次函数，配方求出面积的最大值．

解答：解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=40，
即l=40-2r（0＜r＜40）①
扇形的面积S=

1

2

lr，将①代入，得S=

1

2

（40-2r）r=-r²+20r=-（r-10）²+100，
所以当且仅当r=10时，S有最大值100．此时
l=40-2×10=20，α=

l

r

=2．
所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值100cm²

点评：本题考查角的弧度数与度数间的转化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，体现了转化的数学思想．