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4.函数f(x2-3)=log2$\frac{{x}^{2}+6}{{x}^{2}+1}$,函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=2x
  (1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)求关于x的方程g(x)=f(1)+a在实数集R内有解,求实数a的取值范围.

分析 (1)利用换元法求f(x),利用奇函数的性质求g(x)的解析式;
(2)利用g(x)的解析式,求实数a的取值范围.

解答 解:(1)令x2-3=t(t≥-3),x2=3+t,
∴y=log2$\frac{9+t}{4+t}$,
∴f(x)=log2$\frac{9+x}{4+x}$(x≥-3),
设x<0,则-x>0,g(-x)=2-x
∵函数g(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(x)=g(-x)=-2-x
∵g(0)=0,
∴g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x},x>0}\\{0,x=0}\\{-{2}^{-x},x<0}\end{array}\right.$;
(2)f(1)=1,
∵关于x的方程g(x)=f(1)+a在实数集R内有解,
∴1+a>1或1+a=0或1+a<-1,
∴a>0或a=-1或a<-2.

点评 本题考查函数的奇偶性,考查函数解析式,考查学生的计算能力,属于中档题.

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