Question

4．函数f（x²-3）=log₂$\frac{{x}^{2}+6}{{x}^{2}+1}$，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=2^x．
  （1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）求关于x的方程g（x）=f（1）+a在实数集R内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求f（x），利用奇函数的性质求g（x）的解析式；
（2）利用g（x）的解析式，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）令x²-3=t（t≥-3），x²=3+t，
∴y=log₂$\frac{9+t}{4+t}$，
∴f（x）=log₂$\frac{9+x}{4+x}$（x≥-3），
设x＜0，则-x＞0，g（-x）=2^-x，
∵函数g（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=g（-x）=-2^-x，
∵g（0）=0，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）f（1）=1，
∵关于x的方程g（x）=f（1）+a在实数集R内有解，
∴1+a＞1或1+a=0或1+a＜-1，
∴a＞0或a=-1或a＜-2．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数解析式，考查学生的计算能力，属于中档题．