分析 (1)取PA中点Q,连结QE、QD,推导出四边形QECD是平行四边形,由此能证明CE∥平面PAD.
(2)过E作平面PAC的垂线,记垂足为O,连结CO,∠ECO是直线CE与平面PAC所成的角,过B作BN⊥AC,记垂足为N,过E作EM⊥AB=M,连结CM,由此能求出直线CE与平面PAC所成角的正切值.
解答 证明:(1)取PA中点Q,连结QE、QD,
∵E为PB中点,∴QE∥AB,且QE=$\frac{1}{2}$AB,
∵底面ABCD是直角梯形,∠CDA=∠BDA=90°,AB=AD=2DC=2$\sqrt{2}$,
∴QE∥CD,且QE=CD,∴四边形QECD是平行四边形,
∴EC∥QD,又EC?平面PAD,QD?平面PAD,
∴CE∥平面PAD.
解:(2)过E作平面PAC的垂线,记垂足为O,连结CO,
则∠ECO是直线CE与平面PAC所成的角,
过B作BN⊥AC,记垂足为N,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BN,
又PA,AC?平面PAC,且PA∩AC=A,
∴BN⊥平面PAC,
∴EO∥BN,又∵E是AB的中点,∴EO=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,
过E作EM⊥AB=M,连结CM,得CE=2$\sqrt{3}$,
在Rt△CEO中,CO=$2\sqrt{\frac{13}{5}}$,则tan∠ECO=$\frac{EO}{CO}$=$\frac{\sqrt{26}}{13}$,
∴直线CE与平面PAC所成角的正切值为$\frac{\sqrt{26}}{13}$.
点评 本题考查线面平行的证明,考查线面角的正切值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
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78 | 16 | 95 | 72 | 08 | 14 | 07 | 43 | 63 | 42 | 03 | 20 | 97 | 28 | 01 | 98 |
32 | 04 | 92 | 34 | 49 | 35 | 82 | 40 | 36 | 23 | 48 | 69 | 69 | 38 | 74 | 81 |
A. | 01 | B. | 07 | C. | 08 | D. | 20 |
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