【题目】已知椭圆C的左右顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),椭圆上除A、B外的任一点C满足kACkBC=﹣ .
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,在x轴上是否存在点Q,使得∠PQM+∠PQN=180°?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明现由.
【答案】
(1)解:由题意可设椭圆的标准方程为: =1(a>b>0),
设椭圆上的任意一点C(x,y),∵kACkBC=﹣ ,
∴ =﹣ ,整理化为: =1.
点A(﹣2,0),B(2,0),也满足上述方程,
∴椭圆C的标准方程为: =1
(2)解:假设在x轴上存在点Q,使得∠PQM+∠PQN=180°,
设直线QM,QN的斜率存在,分别设为k1,k2,等价于k1+k2=0.
设直线l的方程为y=k(x﹣4),联立 ,化为:(2k2+1)x2﹣16k2x+32k2﹣4=0,
则△=256k4﹣4(2k2+1)(32k2﹣4)>0,化为k2 .
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= ,
设Q(m,0),则k1+k2= + =0.又y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4),
化为:k(x1﹣4)(x2﹣m)+k(x2﹣4)(x1﹣m)=0,
∴k=0,或2x1x2﹣(m+4)(x1+x2)+8m=0,
∴2× ﹣(m+4)× +8m=0,化为:m﹣1=0,解得m=1.
k=0时也成立.
综上可得:在x轴上存在点Q(1,0),使得∠PQM+∠PQN=180°
【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为: =1(a>b>0),设椭圆上的任意一点C(x,y),由kACkBC=﹣ ,利用斜率计算公式可得 =﹣ ,整理化简即可得出.(2)假设在x轴上存在点Q,使得∠PQM+∠PQN=180°,设直线QM,QN的斜率存在,分别设为k1 , k2 , 等价于k1+k2=0.设直线l的方程为y=k(x﹣4),与椭圆方程联立化为:(2k2+1)x2﹣16k2x+32k2﹣4=0,设M(x1 , y1),N(x2 , y2),设Q(m,0),则k1+k2= + =0.化为:k(x1﹣4)(x2﹣m)+k(x2﹣4)(x1﹣m)=0,把根与系数的关系代入即可得出.
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程,需要了解椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能得出正确答案.
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【题目】在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB= b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积.
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【题目】已知圆心在 轴上的圆 过点 和 ,圆 的方程为 .
(1)求圆 的方程;
(2)由圆 上的动点 向圆 作两条切线分别交 轴于 , 两点,求 的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)+2= ,当x∈(0,1]时,f(x)=x2 , 若在区间(﹣1,1]内,g(x)=f(x)﹣t(x+2)有两个不同的零点,则实数t的取值范围是( )
A.(0, ]
B.(0, ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ , ]
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【题目】已知:三棱锥中,侧面垂直底面, 是底面最长的边;图1是三棱锥的三视图,其中的侧视图和俯视图均为直角三角形;图2是用斜二测画法画出的三棱锥的直观图的一部分,其中点在平面内.
(Ⅰ)请在图2中将三棱锥的直观图补充完整,并指出三棱锥的哪些面是直角三角形;
(Ⅱ)设二面角的大小为,求的值;
(Ⅲ)求点到面的距离.
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【题目】如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线OB于E、D,连接EC、CD.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)若tan∠CED= ,⊙O的半径为3,求OA的长.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1 . 求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
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