Question

已知向量

a

=(x，

3

y)，

b

=(1，0)，且(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)，整理可求Q点的轨迹方程．
（II）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，结合直线与椭圆有两个不同的交点，可得△＞0，从而可得m与k得关系，设弦MN的中点为P由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，从而有K_AP•K_mn=-1，代入可求．

解答：解：（I）由题意得：

a + 3 b =(x+ 3 ， 3 y)， a - 3 b =(x- 3 ， 3 y)

，∵(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)，．∴Q点的轨迹C的方程为

x2

3

+y2=1.…（4分）
（II）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m²＜3k²+1①…（6分）
（1）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x_p，y_p），x_M、x_N分别为点M、N的横坐标，则xp=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

从而yp=kxp+m=

m

3k2+1

kAP=

yp+1

xp

=-

m+3k2+1

3mk

…（8分）
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

即2m=3k2+1②，将②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k2=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

，故所求的m取值范围是(

1

2

，2)．…（10分）
（2）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m²＜3k²+1，解得-1＜m＜1．

∴当k≠0时，m 的取值范围是( 1 2 ，2)， 当k=0时，m 的取值范围是(-1，1)．

…（12分）

点评：本题考查了轨迹方程的求法，椭圆性质的应用，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式及两直线垂直与斜率关系的相互转化得应用．