Question

【题目】已知点在椭圆上，为坐标原点，直线的斜率与直线的斜率乘积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；

（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.

（Ⅰ）由题意，，

即① 又②

联立①①解得

所以，椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设，，，由，

得，

所以，即，

又因为，所以，，

，，

解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.

∴

∴，∴.

解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.

直线与的方程分别为：

，，

分别令，得，

而，同解法一，可得

，即垂直平分.

所以，.