Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n、a_n、3n成等差数列（n∈N₊），则数列{a_n}的通项公式为a_n=________．

Answer 1

a_n=3•2ⁿ-3（n∈N₊）
分析：由已知得出S_n+3n=2a_n所以S_n+1+3（n+1）=2a_n+1，两式相减并整理、构造出a_n+1+3=2（a_n+3），通过求出数列{a_n+3} 的通项公式得出数列{a_n}的通项公式．
解答：由于S_n、a_n、3n成等差数列（n∈N₊），
即S_n+3n=2a_{n ①}
所以S_n+1+3（n+1）=2a_n+1，②
②-①得出
a_n+1+3=2a_n+1-2a_n
整理a_n+1=2a_n+3
两边同时加上3得出
a_n+1+3=2（a_n+3）
根据等比数列的定义，得出数列{a_n+3}是以2为公比的等比数列．
在①中，令n=1得出a₁+3=2a₁，a₁=3 所以a₁+3=6
数列{a_n+3} 的通项公式为a_n+3=6•2 ^n-1=3•2 ⁿ
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3•2 ⁿ-3
故答案为：a_n=3•2 ⁿ-3（n∈N₊）
点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，以及不等式的解法，考查变形构造、计算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型递推公式，均可通过两边加上一个合适的常数，变形构造出一个新的等比数列．