Question

20．正三棱锥P-ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高PO=3，求此正三棱锥的侧面积．

Answer 1

分析 利用已知条件求出正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小，然后求解底面面积、侧面积即可

解答 解：如图：正三棱锥P-ABC的侧面积是底面积的2倍，
可得侧面与底面所成二面角为α，cosα=$\frac{{S}_{底}}{{S}_{侧}}$=$\frac{1}{2}$，
∴α=60°，底面中心O到底面边的距离为d=$\frac{3}{tan60°}$=$\sqrt{3}$，
底面三角形的高为3$\sqrt{3}$，底面边长为：a，
则$\frac{\sqrt{3}}{2}a=3\sqrt{3}$，a=6，
底面面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{6}^{2}$=9$\sqrt{3}$．
正三棱锥的侧面积：18$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三棱锥的侧面积，二面角的求法，三角形的面积以及高的求法，考查空间想象能力以及计算能力．