Question

如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

(1)BD₁与交于点B的三个侧面所成的角分别为α、β、γ，求证：cos²α＋cos²β＋cos²γ＝2；

(2)BD₁与交于点B的三条棱所成的角分别为α、β、γ，求证：cos²α＋cos²β＋cos²γ＝1．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)设长方体的交于点B的三条棱AB＝a，BC＝b，BB1＝c，BD1＝m， 　　则BD1与三个侧面所成的角分别是α＝∠A1BD1，β＝∠C1BD1，γ＝∠DBD1，m2＝a2＋b2＋c2， 　　易得cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ 　　(2)BD1与交于点B的三条棱所成的角分别为α＝∠B1BD1，β＝∠CBD1，γ＝∠ABD1， 　　易得cos2α＋cos2β＋cos2γ＝

提示：

本题是长方体中的两个重要的结论．可利用构造法证明这两个结论，需要先找到线面、线线所成的角．