Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增；
（2）若关于x 的方程f（x）=x+m 在[1，2]上有解，求m 的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．
（2）先分离出参数m：m=log₂（2^x+1）-x=log₂（2^x+1）-log₂2^x=log2(1+

1

2x

)下面只须考查1+

1

2x

 的取值范围结合对数函数的性质即可得出m 的取值范围．

解答：解：（1）证明：任取-7＜x₁＜x₂＜+∞，
则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2

2x1+1

2x2+1

，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1+1＜2x2+1 
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0 
∴f（x₁）＜f（x₂），…（7分）
所以，函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增．…（8分）
（2）m=log₂（2^x+1）-x=log₂（2^x+1）-log₂2^x=log2(1+

1

2x

)，…（11分）
当1≤x≤2 时，

1

4

≤

1

2x

≤

1

2

，

5

4

≤1+

1

2x

≤

3

2

 …（13分）
∴log2(

5

4

)≤log2(1+

1

2x

)≤log2(

3

2

)，即log2(

5

4

)≤m≤log2(

3

2

) …（15分）
所以，m 的取值范围是(log2

5

4

 ， log2

3

2

) …（16分）

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了用单调性的定义证明函数的单调性以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．