Question

16．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），及f（4）=1，
（1）求f（1）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥1．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值法令y=1，可得f（x）=f（x）-f（1），求出f（1）=0；
（3）不等式可整理为x²-3x＜4，-x＞0，3-x＞0，解不等式可得．

解答 ：（1）令y=1，
∴f（x）=f（x）-f（1），
∴f（1）=0；
（3）∵f（-x）+f（3-x）≥1，
∴f（x²-3x）≥f（4），
∵函数在定义域内为减函数，
∴x²-3x＜4，-x＞0，3-x＞0，
∴-1＜x＜0，
故解集为（-1，0）．

点评 考查了特殊值法求抽象函数问题，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题．