Question

16、定义在R上的偶函数f（x），满足以f（x+2）=-f（x）且在[0，2]上是减函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-2，6]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=

4

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Answer 1

分析：通过函数为偶函数及f（x+2）=-f（x）推断出函数为周期函数．根据对称性画出函数的示意图，根据函数图象即可得出答案．

解答：解：∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=-f（-x+2）=-f（x-2）=f（x）=-f（x+2）
即f（x-2）=f（x+2）=f（x-2+4）
即 f（x）=f（x+4）
∴f（x）是一个周期函数，周期为4
∴f（x）关于y轴对称．
由f（x）在[0，2]上是减函数，设x₁＜x₂＜x₃＜x₄
可做函数图象示意图如下
∵f（x）是偶函数
∴函数关于y轴对称
x₁+x_2⁼⁰
又∵f（x）是一个周期函数，周期为4
∴函数关于x=4轴对称
∴x₃+x_4⁼⁸
∴x₁+x₂+x₃+x_4⁼⁴
故答案为：9．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．