Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=$\sqrt{5}$
（Ⅰ） 证明PC丄AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD⊥AC，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用同量法能证明PC⊥AD．
（Ⅱ）求出平面PCD的一个法向量和平面PAC的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的正弦值．（Ⅲ）设点E的坐标为（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，h$），由$\overrightarrow{CD}$=（2，-1，0），满足异面直线BE与CD所成的角为30°，利用向量法能求出AE．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）∵在△ADC中，AD=2，AC=1，DC=$\sqrt{5}$
∴AC²+AD²=CD²，
∴AD⊥AC，…（1分）
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
依题意得A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，2），
得$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2，0，0），
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AD}$=0，∴PC⊥AD．…（4分）
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{PC}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{CD}=（2，-1，0）$，
设平面PCD的一个法向量$\overrightarrow n$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=2x-y=0}\end{array}\right.$，不妨令z=1，得$\overrightarrow n$=（1，2，1），
可取平面PAC的一个法向量$\overrightarrow m$=（1，0，0），
于是cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
从而sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
所以二面角A-PC-D的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．…（8分）
（Ⅲ）设点E的坐标为（0，0，h），其中h∈[0，2]，
由此得$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，h$），由$\overrightarrow{CD}$=（2，-1，0），
故$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}}}{{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{CD}|}}=\frac{3}{{\sqrt{10+20{h^2}}}}$，
∵满足异面直线BE与CD所成的角为30°，
∴$\frac{3}{\sqrt{10+20{h}^{2}}}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得h=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，即AE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（13分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查线段长的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．