Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（-2，1），k，t为正实数，

x

=

a

+(t2+1)

b

，

y

=-

1

k

a

+

1

t

b

，问是否存在实数k、t，使

x

∥

y

，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先计算出向量的坐标，再利用向量共线的充要条件即可得出．

解答：解：∵

x

=

a

+(t2+1)

b

=（1，2）+（t²+1）（-2，1）=（-2t²-1，t²+3），

y

=-

1

k

a

+

1

t

b

=-

1

k

（1，2）+

1

t

（-2，1）
=(-

1

k

-

2

t

，

1

t

-

2

k

)
假设存在正实数k，t使

x

∥

y

，则
（-2t²-1）（-

2

k

+

1

t

）-（t²+3）（-

1

k

-

2

t

）=0，
化简得

t2+1

k

+

1

t

=0，即t³+t+k=0，
∵k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，
∴不存在这样的正实数k，t，使

x

∥

y

．

点评：熟练掌握向量的运算和共线的充要条件是解题的关键．