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6.已知f(x)=|x+1|+|x-2|
(Ⅰ)已知关于x的不等式f(x)<2a-1有实数解,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)解不等式f(x)≥x2-2x.

分析 (Ⅰ)分类讨论求出函数的最小值,即可求实数a的取值范围;
(Ⅱ)分类讨论解不等式即可.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=|x+1|+|x-2|,
 ①当x≤-1时,f(x)=-2x+1≥3;
 ②当-1<x≤2时,f(x)=3.
③当x>2时,f(x)=2x-1>3.
∵关于x的不等式f(x)<2a-1有实数解,
∴2a-1>3,∴a>2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当x≤-1时,f(x)=-2x+1≥x2-2x,解得x=-1;
当-1<x≤2时,f(x)=3≥x2-2x,解得-1≤x≤3,∴-1<x≤2,
当x>2时,f(x)=2x-1≥x2-2x,解得2-33≤x≤2+33,∴2<x≤2+33
综上所述,不等式的解集为[-1,2+33].

点评 本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于中档题.

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