Question

19．已知函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a．设函数F（x）=[f（x）]²-[f（-x）]²，且F（x）不恒等于0，则对于F（x）有如下说法：
①定义域为[-b，b]
②是奇函数   
③最小值为0
④在定义域内单调递增
其中正确说法的序号是①②．（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析 对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；
对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；
对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，对于F（x）=f²（x）-f²（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，则F（x）=f²（x）-f²（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；
对于②，F（-x）=f²（-x）-f²（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，
则F（x）为奇函数，②正确；
对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2^x，F（x）=2^2x-2^-2x=2^2x-$\frac{1}{{2}^{2x}}$无最小值，故③错误；
对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；
故答案为①②．

点评 本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．