Question

（2011•怀化一模）已知函数f（x）=

1

x

-3x+（2-a）lnx（a∈R）
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）把a代入函数f（x）再求导，根据导数判断函数的单调性，再求极值
（2）先求导，讨论a的取值范围，判断函数的单调性

解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=

1

x

-3x+4lnx定义域为（0，+∞）
f′（x）=-1/x2-3+

4

x

，令f′（x）＞0得3x2-4x+1＜0⇒

1

3

＜x＜1
∴f（x）的单调区间为（

1

3

，1），单调减区间为（0，

1

3

）和（1，+∞）
极小值为f（

1

3

）=2-4ln3极大值为f（1）=-2
（2）f′（x）=-1/x²-3+

2-a

x

   f（x）的定义域为（0，+∞）
令f′（x）＞0得3x²-（2-a）x+1＜0
△=（2-a）²-12-a²-4a-8    由△≤0得2-2

3

≤a≤2+2

3

∴当2-2

3

≤a≤2+2

3

时   不等式①无解  f′（x）≤0恒成立
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
令g（x）=3x²-（2-a）x+1   其对称轴为x=

2-a

6

当

△＞0 2-a 6 ≤0

即a≥2+2

3

g（0）=1＞0
∴f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
当

△＞0 2-a 6 ＞0

即a＜2-2√3时
方程 3x²-（2-a）x+1=0的两根为x₁₂=

2-a± a2-4a-8

6

则不等式①的解为

2-a-  a2-4a-8

6

＜x 

2-a+ a2-4a-8

6

∴f（x）在（

2-a- a2-4a-8

6

，

2-a+ a2-4a-8

6

）单调递增
在（0，

2-a- a2-4a-8

6

）和（

2-a+ a2-4a-8

6

，+∞）上单调递减
综上：当a≥2-2

3

时
f（x）在（0，+∞）单调递减
当a＜2-2√3时
f（x）在（

2-a- a2-4a-8

6

，

2-a+ a2-4a-8

6

）单调递增
在（0，

2-a- a2-4a-8

6

）和（

2-a+ a2-4a-8

6

，+∞）上单调递减

点评：本题考查函数的求导公式，考查利用判别式，解答过程中注意x的取值范围，最好在解答过程中把表格画上，属简单题，要会利用判别式讨论a的取值范围