Question

下列命题中：
①函数f（x）=lg（x²+mx+m）的值域为R，则m∈（0，4）；
②若函数f（x）满足f（x+1）=

1+f(x)

1-f(x)

，则f（x）为周期函数；
③函数y=f（2-x）与y=f（2+x）的图象关于直线x=2对称；
④若函数f(x)=x+log2(x+

x2+1

)，则“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要条件．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①函数f（x）=lg（x²+mx+1）的值域是R，则x²+mx+1必须取到所有的正实数，即△≤0，②换元对式子化简寻求f（x）的周期，③根据函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称判断，④可判断函数f(x)=x+log2(x+

x2+1

)为R上的单调递增的奇函数，利用充分必要条件的概念可判断．

解答： 解：①函数f（x）=lg（x²+mx+m）的值域是R，必须：△=m²-4m≥0，即m≥4，或m≤0，故①错误；
②令x=x+1得f（x+2）=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

，将f（x+1）=

1+f(x)

1-f(x)

代入上式，化简得f（x+2）=

-1

f(x)

所以f（x）=-

1

f(x+2)

，令x=x+2可得f（x+2）=-

1

f(x+4)

，代入f（x）=-

1

f(x+2)

，化简得f（x）=f（x+4），
所以f（x）的周期T=4，故②正确，
③根据函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称，则函数y=f（2-x）与y=f（2+x）的图象关于直线x=0对称，③错误，
④函数f(x)=x+log2(x+

x2+1

)，定义域为R，
所以f（-x）+f（x）=-x+log₂（-x+

x2+1

）+x+log₂（x+

x2+1

））=log₂[（x+

x2+1

）（-x+

x2+1

）]=log₂1=0，
所以，f（-x）=-f（x），f（x）=是奇函数，
由于函数y=x+

x2+1

在区间[0，+∞）上是增函数，所以f（x）=x+log₂（x++

x2+1

）在区间[0，+∞）上是增函数，而f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）是R上的奇函数，故在R上单调递增，
所以，m+n≥0，即m≥-n时，f（m）≥f（-n）=-f（n），所以f（m）+f（n）≥0，即充分性成立；
反之，若f（m）+f（n）≥0，则f（m）≥-f（n）=f（-n），所以m≥-n，即m+n≥0，必要性成立；
所以“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要条件，④正确．
故答案为：②④．

点评：考查对数函数的值域，定义域，二次函数，抽象函数的对称问题，属于综合题，较难，记住一个常用结论：函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称．